关联规则：啤酒与尿布的数学

前两课都在给人"贴标签、分堆"，这一课换个目标：找出经常一起出现的东西。学完它，你能手算支持度、置信度、提升度三个指标，还能亲手写出一个二十几行的迷你 Apriori——不需要装任何新库。
先记住一句话：支持度管多常见，置信度管多可靠，提升度管是不是巧合。

一、啤酒与尿布

零售业最著名的都市传说：超市发现买尿布的人经常顺手买啤酒（大概是当爹的半夜哄娃犒劳自己），于是把两样货摆到一起，双双销量上涨。故事细节真假存疑，但它示范的思路千真万确，并有一个正式的名字——购物篮分析：

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拿起一把小票 → 找出"总是出双入对"的商品组合 → 摆货架 / 搭套餐 / 做推荐

这个思路远不止卖货：第一课日志里的扫描器也有它的"购物篮"——/.env、/admin、/wp-login 总是在同一个 IP 的请求里一起出现。"经常一起出现"这个模式，货架上能用，风控里也能用。

二、三个指标：全部手算一遍

光说"一起出现"太含糊，三个指标把它量化。先给一份 5 张购物小票的数据：

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小票1：{尿布, 啤酒, 薯片}
小票2：{尿布, 啤酒}
小票3：{尿布, 牛奶}
小票4：{牛奶, 面包}
小票5：{尿布, 啤酒, 牛奶}

我们关心规则"买尿布 → 买啤酒"（读作：买了尿布的人，有多大概率也买了啤酒）：

指标	定义	手算	含义
支持度 Support	同时含 A、B 的小票占比	3/5 = 0.6	这对组合多常见
置信度 Confidence	买 A 的人里也买了 B 的比例	(3/5) ÷ (4/5) = 0.75	这条规则多可靠
提升度 Lift	置信度 ÷ B 的支持度	0.75 ÷ (3/5) = 1.25	买 A 有没有让买 B 更可能

置信度 0.75 看着挺高，但请警惕一个反问：啤酒本来就畅销（支持度 0.6），就算尿布和啤酒毫无关系，随便抓个买尿布的人也有六成概率买了啤酒。提升度就是用来戳破这种"假关系"的：

Lift > 1：正相关，买 A 确实让 B 更可能出现——值得摆一起
Lift = 1：相互独立，纯属巧合，别浪费货架
Lift < 1：负相关，买了 A 反而更不买 B——这俩别捆在一起卖

🧠 记忆锚点：支持度管多常见，置信度管多可靠，提升度管是不是巧合。 一条好规则三者缺一不可：常见、可靠、且不是巧合。

三、Apriori：怎么不把组合数爆掉

商品一多，组合就是天文数字：100 种商品的两两组合就有 4950 种，三件套更上万。Apriori 算法用一条性质剪掉绝大多数组合：

🧠 记忆锚点：频繁项集的子集必定频繁。 反过来用才厉害——一个组合（比如 {啤酒, 薯片}）自己都不常出现，那么任何包含它的更大组合（{啤酒, 薯片, X}）也绝不可能频繁，全体不用看了。

于是流程变成一层一层盖楼：先数 1 件组合，砍掉不频繁的；只拿幸存者两两拼成 2 件组合，再砍；再拼 3 件的……每一层都在上一层幸存者的基础上盖，楼越高人越少。

四、动手：手写迷你 Apriori

不装任何库，二十几行写一个能跑的（数据就是第二节的 5 张小票）。新建 apriori.py 整段复制运行：

python

from itertools import combinations

baskets = [
    {"尿布", "啤酒", "薯片"},
    {"尿布", "啤酒"},
    {"尿布", "牛奶"},
    {"牛奶", "面包"},
    {"尿布", "啤酒", "牛奶"},
]
N = len(baskets)
min_support = 0.4          # 支持度门槛：至少 40% 的小票里出现才算频繁

def support(itemset):                       # 一个项集的支持度
    hits = sum(1 for b in baskets if itemset <= b)   # <= 是集合的"子集"判断
    return hits / N

def frequent_itemsets(k_max=3):
    """逐层盖楼：第 1 层是单个商品，往上只用幸存者拼更大的组合"""
    level = {frozenset([i]) for b in baskets for i in b}
    level = {s for s in level if support(s) >= min_support}   # 砍掉不频繁的
    all_layers = [level]
    for k in range(2, k_max + 1):
        # 只用上一层幸存者两两拼接（拼接处共享 k-2 个元素，避免拼出废话）
        cands = {a | b for a in level for b in level if len(a & b) == k - 2}
        level = {c for c in cands if support(c) >= min_support}   # 再砍
        if not level:
            break
        all_layers.append(level)
    return all_layers

print("— 频繁项集 —")
for layer in frequent_itemsets():
    for s in layer:
        print(f"  {set(s)}  支持度={support(s):.2f}")

print("— 关联规则 —")
rules = []
for layer in frequent_itemsets():
    for s in layer:
        if len(s) < 2:
            continue
        for i in s:                                # 每种拆法都当一条规则
            left, right = s - {i}, frozenset([i])  # 前件 → 后件
            conf = support(s) / support(left)
            lift = conf / support(right)
            rules.append((set(left), set(right), support(s), conf, lift))

for left, right, sup, conf, lift in sorted(rules, key=lambda r: -r[4]):
    print(f"  {left} → {right}  支持度={sup:.2f}  置信度={conf:.2f}  提升度={lift:.2f}")

对照输出，值得停留的三行：

{啤酒} → {尿布}，置信度 1.00：买啤酒的小票里 100% 都有尿布——因为数据太少，样本里碰巧如此
{尿布} → {啤酒}，提升度 1.25：正相关，真规则，可以摆一起
{尿布} → {牛奶}，提升度 0.83：小于 1！买尿布的人反而更不买牛奶——置信度 0.50 看着还行，提升度一票否决。只看置信度会被这种规则骗得很惨

这正是第五节的第 1 个坑的现场版。

五、用规则时的三个坑

相关不等于因果。"买尿布的买啤酒"不等于"尿布导致了啤酒"，更可能是同一个隐藏原因（新手爸爸这一人群）同时驱动了两者。摆货架无所谓，做决策要想清楚因果
小样本虚高。5 张小票里置信度 1.00 的规则毫无意义；规则必须建立在足够多的记录上，看置信度时永远带着样本量一起看
业务解读永远是最后一步。算法只输出"一起出现"，摆不摆到一起、捆不捆着卖，是货架成本、毛利、库存在说话——挖掘给弹药，业务扣扳机

六、动手实验

💡 动手实验 1：把 min_support 从 0.4 依次改成 0.6、0.2，数一数频繁项集变多还是变少、各出现什么。门槛太严颗粒无收，太松垃圾成山——支持度门槛就是挖掘的"灵敏度旋钮"。

💡 动手实验 2：加一行 if conf < 0.5: continue 只保留置信度 0.5 以上的规则；再把输出按置信度排一次序（把排序 key 换成 r[3]）。体会一下：按置信度排和按提升度排，榜首可能完全不同——你更信哪个排序？为什么？

💡 动手实验 3：编 8~10 张你自己的小票（比如奶茶店：{珍珠奶茶, 蛋糕}, {柠檬茶, 鸡排}……），跑同一个脚本，找出提升度最高的一条规则，并用一句话说明你打算怎么用这个发现。

小结

购物篮分析 = 找"经常一起出现"的组合；货架、套餐、推荐、日志风控里都在用
三个指标：支持度管多常见，置信度管多可靠，提升度管是不是巧合；Lift ≤ 1 的规则不值得投入
Apriori 靠"频繁项集的子集必定频繁"逐层剪枝，组合数从天文数字变成可算
相关不等于因果；小样本的置信度虚高；挖掘给弹药，业务扣扳机

五颗钉子都敲完了：流程、清洗、分类聚类、关联规则。最后一课把它们全部串起来，做一次完整的实战——奶茶店会员流失分析。

关联规则：啤酒与尿布的数学 ​

一、啤酒与尿布 ​

二、三个指标：全部手算一遍 ​

三、Apriori：怎么不把组合数爆掉 ​

四、动手：手写迷你 Apriori ​

五、用规则时的三个坑 ​

六、动手实验 ​

小结 ​